Atualidade e Simplicidade no Ensino da Geometria

Teia do Saber Geometria Analítica e Vetores

          Vetores e salvamento de motoqueiros perdidos no deserto

Ao que parece a história é verdadeira, um motoqueiro, numa viagem ao Egito, afastou-se do pessoal da excursão e resolveu dar uma voltinha pelo deserto. Levava uma bússola, mas após algum tempo ficou totalmente perdido. Pegou seu celular e ligou desesperado, a procura de quem entendesse de vetores. A gasolina estava acabando, já se haviam ido os galões de reserva. Queria saber como voltar.

Disse o motoqueiro aos prantos pelo celular, "saí daí e depois...

(i) andei 100km para o norte,
(ii) andei 200km 30° a oeste do norte,
(iii) andei 100km a sudoeste,
(iv) andei 200km 60º a leste do sul,
(v) andei mais 150km para sudeste,

...estou desesperado, tão atordoado que até pedi informação para um camelo, mas ele virou a face, nem respondeu..."

                                "...por favor, chamem alguém que diga como eu devo voltar..."

A solução do problema seria simples se tivéssemos os vetores d₁, d₂, d₃, d₄ e d₅, causadores dos cinco deslocamentos descritos pelo motoqueiro, em componentes. Então efetuaríamos sua soma vetorial obtendo

d = d₁ + d₂ + d₃ + d₄ + d₅, 

o vetor d efetua então um deslocamento único que levaria o motoqueiro do ponto de partida até o ponto final da sua desastrada aventura. Bastaria então que disséssemos a ele que para percorrer o deslocamento efetuado por - d, o oposto do vetor d, tal seria o caminho mais curto para retornar.

Mas temos antes que resolver um problema de linguagem, devemos primeiro traduzir as afirmações do motoqueiro para vetores em componentes antes de efetuar nossos cálculos.

O manual do escoteiro, para ensiná-lo a determinar os pontos cardeais manda que olhe na direção do sol nascente com seus braços abertos, esta é a direção leste, então suas costas dão para oeste, sua mão direita aponta o sul e a esquerda aponta o norte.

Ao determinar os pontos cardeais o escoteiro determina também as linhas sul-norte e oeste-leste que são respectivamente tangentes ao meridiano e ao paralelo que passam pelo ponto em que nosso hipotético escoteiro estaria pisando. As linhas sul-norte e oeste-leste podem ser respectivamente vistas como eixos y e x do plano tangente a terra no ponto que pisa o escoteiro.

O raio da Terra é muito grande de forma que para uma região de dimensões pequenas o planeta é aproximadamente plano se confundindo com o plano tangente. Assim sendo podemos, no problema do motoqueiro, trabalhar com as linhas oeste-leste e norte-sul como se fossem os eixos x e y de um sistema cartesiano.

O corpo da bússola está fixo na moto enquanto sua agulha aponta o norte, o motoqueiro pode dizer as direções dos deslocamentos que efetuou, também pode dizer as extensões destes deslocamentos graças ao odômetro da motocicleta.

Para cada deslocamento efetuado por um vetor v=<a,b>, as informações do motoqueiro nos darão o módulo ||v|| e a direção θ do movimento. Então, calcularemos as componentes de cada um destes vetores pelas expressões 

a = ||v|| cosθ,
b = ||v|| senθ.

Devemos ser cuidadosos, pois os ângulos ditados pelo motoqueiro não precisam coincidir com o ângulo θ da nossa convenção. Vejamos o vetor que causaria cada deslocamento declarado por ele, podemos imaginar que os vetores estão agindo na origem do sistema de eixos, assim fica mais fácil determinar θ em cada caso.

A partir dos valores do módulo e da direção, calculamos as componentes dos vetores que causariam os cinco deslocamentos:

Aproximamos para número inteiro de quilômetros, o retorno do motoqueiro deve-se dar pelo deslocamento causado por -d =<-109,4>, temos ||-d||=√((-109)² + (4)²) que dá aproximadamente 109 km, o ângulo de direção θ de -d, dado pelas equações 109 = 109 cosθ, 4 = 109 senθ, as quais implicam em cosθ=1 e senθ=0 aproximadamente. Temos que θ=180° e devemos traduzir este resultado para a linguagem do motoqueiro, dizendo a ele que deve andar 109km na direção oeste.

Notem o zig-zag feito pelo motoqueiro, após rodar 100+200+100+200+150=750km, nosso herói está apenas 109km a leste do ponto de partida. Considerações sobre a autonomia da moto e suas conseqüências são importantes, na atividade proposta aos alunos, para fazer a importante distinção entre caminho percorrido e deslocamento.

Bom, muitas vezes a sala não se interessa tanto por motocicletas, camelos, desertos, no caso de vocês depararem com tais estudantes recatados, dignos de um convento de freiras, sugiro problemas mais idílicos e pacatos como o abaixo...

                                        Chapeuzinho Vermelho e o Lobo Mau.

Não é só o Rubem Alves que conta estorinha, a gente também pode falar abobrinha.

Conta-se que numa vila francesa à beira da floresta ('a côté de la forête'), uma jovem moça, por sempre usar um belo chapéu de tal cor, era chamada de Chapeuzinho Vermelho.

Ela gostava muito da sua vovozinha, que vivia na floresta. A mamãe de chapeuzinho sempre a avisava para não visitar sozinha sua vovó:

" Querida filha, não vá estar acessando sua vovozinha sozinha, a nível de perigo, sua viagem vai estar sendo um empreendimento arriscado, você vai poder estar sendo comida por um terrível lobo mau, que tem estado rondando a região "

Chapeuzinho Vermelho estava com muitas saudades da sua vovó, sua mãe era operadora de tele-marketing e não tinha tempo de levá-la.

Um dia resolveu ir por sua conta e risco. Pegou a bússola. Na região da França onde Chapeuzinho morava, as florestas, ao contrário das nossas, tinham as árvores bem espaçadas. Chapeuzinho podia andar praticamente em linha reta:

(i) enquanto cantava, andou com velocidade de 3km/h na direção da casa da vovó, que ficava 10km 30° a leste do Norte, para quem partira da vila,

(ii) após duas horas de viagem deparou com o terrível lobo mau, que era mau mesmo... estava na sua frente, rosnando, uivando, ululando e babando...

(iii) Chapeuzinho mudou seu rumo, passou a gritar por socorro e correr com velocidade de 12km/h na direção da casa de um lenhador... o tal lenhador morava na floresta, 8km a noroeste, para quem partia da vila...

(iv) do ponto em que vira o lobo, Chapeuzinho caminhou apenas metade da distância até a casa do lenhador, então tropeçou, caiu no solo, foi alcançada e devorada sem clemência pelo rude 'canis lupus'.

Vejam vocês, que bela lição nos traz esta triste estória. Devemos acreditar em nossas mamães, mesmo que elas sejam operadoras de tele-marketing!

 

Independentemente de lições de moral ou outras que alguém venha tirar desta estória, pergunta-se: qual a distância do ponto em que se deu o lupino banquete, fim da juventude de Chapeuzinho, até a vila?

Reescrever a resolução abaixo, fazer referência à figura vect16.gif logo de início, falar sobre média aritmética de vetores! Empregar a idéia de vetor de posição!

Solução: Consideramos a vila colocada na origem de um sistema de eixos x, y dados pelas linhas oeste-leste e sul-norte respectivamente, como no caso do motoqueiro.

Resolveremos o problema com o emprego dos vetores.

Primeiro consideremos o vetor w que dá a posição do ponto de encontro entre Chapeuzinho e o lobo. Empregamos o quilômetro como unidade, dado que chapeuzinho caminhou por 2 horas a 3 km/h, percorreu 6km, o módulo deste vetor é portanto ||w|| = 6. Sua direção, 30° a leste do Norte, é na convenção usual θ = 60°, medidos a partir do eixo x. Temos:

w = < ||w|| cos60°, ||w|| sen60°> ~ <3.0, 5.2>.

Como Chapeuzinho partiu da origem, (0,0), este deslocamento a levou ao ponto do nefasto encontro, PE=(3, 5.2).

Consideremos agora o vetor v, de posição da casa do lenhador, isto é, o vetor que causa o deslocamento que leva a origem até a tal casa. Tal vetor tem módulo ||v|| = 8. Sua direção, noroeste, corresponde em nossa convenção, a θ = 135°, contados a partir do eixo x no sentido anti-horário. Temos:

v = < ||v|| cos135°, ||v|| sen135°> ~ <-5.7, 5.7>.

Este vetor leva a origem (0,0), à casa do lenhador, CL=(-5.7,5.7).

O vetor que levaria Chapeuzinho do encontro com o lobo à casa do lenhador seria a diferença vetorial u=v-w, infelizmente a intervenção do tropeço e a maldade do lobo fizeram que a bela moça efetuasse apenas metade deste deslocamento, causado pelo vetor (1/2)u=(1/2)(v -w). Adicionando este vetor ao vetor w, causador do deslocamento inicial de Chapeuzinho, temos o vetor resultante:

w + (1/2)u = w + (1/2)(v -w) = w + (1/2)v - (1/2)w = (1/2)(v+w).

Este resultado é uma regra geral, fazendo a média dos vetores de posição de dois pontos, obtemos o vetor de posição do ponto médio entre eles. No caso estudado, v é o vetor de posição da casa do lenhador, w é o vetor da posição do encontro entre Chapeuzinho e o lobo. A média aritmética destes vetores,

(1/2) (v+w) ~ <-1.3, 5.4>

é o vetor de posição do ponto médio entre o encontro e a casa do lenhador, que corresponde ao ponto do lupino banquete, que tem coordenadas PB=(-1.3, 5.4). A distância entre este ponto e a vila é dada por:

||(1/2)(v+w)|| ~ √((-1.3)²+(5.4)²) ~ 5.6 km.

Um diagrama semelhante ao que fizemos acima mostra que os vetores de posição de todos os pontos do segmento ligando dois pontos dados são obtidos por médias ponderadas entre os vetores de posição dos pontos inicial e final do segmento. A mesma propriedade vale para as coordenadas dos referidos pontos, visto que o vetor de posição leva a origem ao ponto que tem como coordenadas as componentes do vetor.

O professor que escolher este problema para uma atividade em sala, se optar pela teatralização, deve ser cuidadoso na escolha dos atores que farão o papel da Chapeuzinho e do lobo.

Fonte: http://www.ime.unicamp.br/~marcio/hpteia/vect01/vect09.htm

Postagem dos Alunos: Ana Lucia Lima, Daniela Pacheco da Silva, Dóris Apolonia Russo, Jorge Roberto Santos Miranda, Paulo Fernando Soares e Fernando dos Santos