Vetores e salvamento de motoqueiros perdidos
no deserto
Disse o motoqueiro aos prantos pelo celular,
"saí daí e depois...
(i) andei 100km para o norte,
(ii) andei 200km 30° a oeste do norte,
(iii) andei 100km a sudoeste,
(iv) andei 200km 60º a leste do sul,
(v) andei mais 150km para sudeste,
(ii) andei 200km 30° a oeste do norte,
(iii) andei 100km a sudoeste,
(iv) andei 200km 60º a leste do sul,
(v) andei mais 150km para sudeste,
...estou desesperado, tão atordoado que até pedi
informação para um camelo, mas ele virou a face, nem respondeu..."
"...por favor, chamem alguém que diga como eu
devo voltar..."
A solução do problema seria simples se tivéssemos
os vetores d1, d2, d3, d4
e d5, causadores dos cinco deslocamentos descritos pelo
motoqueiro, em componentes. Então efetuaríamos sua soma vetorial obtendo
d = d1 + d2
+ d3 + d4 + d5,
o vetor d efetua então um deslocamento único
que levaria o motoqueiro do ponto de partida até o ponto final da sua
desastrada aventura. Bastaria então que disséssemos a ele que para percorrer o
deslocamento efetuado por - d, o oposto do vetor d, tal seria o
caminho mais curto para retornar.
Mas temos antes que resolver um problema de
linguagem, devemos primeiro traduzir as afirmações do motoqueiro para vetores
em componentes antes de efetuar nossos cálculos.
O manual do escoteiro, para ensiná-lo a determinar
os pontos cardeais manda que olhe na direção do sol nascente com seus braços
abertos, esta é a direção leste, então suas costas dão para oeste, sua mão
direita aponta o sul e a esquerda aponta o norte.
Ao determinar os pontos cardeais o escoteiro
determina também as linhas sul-norte e oeste-leste que são respectivamente
tangentes ao meridiano e ao paralelo que passam pelo ponto em que nosso
hipotético escoteiro estaria pisando. As linhas sul-norte e oeste-leste podem
ser respectivamente vistas como eixos y e x do plano tangente a terra no ponto
que pisa o escoteiro.
O raio da Terra é muito grande de forma que para
uma região de dimensões pequenas o planeta é aproximadamente plano se
confundindo com o plano tangente. Assim sendo podemos, no problema do
motoqueiro, trabalhar com as linhas oeste-leste e norte-sul como se fossem os
eixos x e y de um sistema cartesiano.
O corpo da bússola está fixo na moto enquanto sua
agulha aponta o norte, o motoqueiro pode dizer as direções dos deslocamentos
que efetuou, também pode dizer as extensões destes deslocamentos graças ao
odômetro da motocicleta.
Para cada deslocamento efetuado por um vetor v=<a,b>,
as informações do motoqueiro nos darão o módulo ||v|| e a direção θ do
movimento. Então, calcularemos as componentes de cada um destes vetores pelas
expressões
a = ||v|| cosθ,
b = ||v|| senθ.
b = ||v|| senθ.
Devemos ser cuidadosos, pois os ângulos ditados
pelo motoqueiro não precisam coincidir com o ângulo θ da nossa convenção.
Vejamos o vetor que causaria cada deslocamento declarado por ele, podemos
imaginar que os vetores estão agindo na origem do sistema de eixos, assim fica
mais fácil determinar θ em cada caso.
A partir dos valores do módulo e da direção,
calculamos as componentes dos vetores que causariam os cinco deslocamentos:
Aproximamos para número inteiro de quilômetros, o
retorno do motoqueiro deve-se dar pelo deslocamento causado por -d
=<-109,4>, temos ||-d||=√((-109)2 + (4)2)
que dá aproximadamente 109 km, o ângulo de direção θ de -d, dado
pelas equações 109 = 109 cosθ, 4 = 109 senθ, as quais implicam em cosθ=1 e
senθ=0 aproximadamente. Temos que θ=180° e devemos traduzir este resultado para
a linguagem do motoqueiro, dizendo a ele que deve andar 109km na direção oeste.
Notem o zig-zag feito pelo motoqueiro, após rodar
100+200+100+200+150=750km, nosso herói está apenas 109km a leste do ponto de
partida. Considerações sobre a autonomia da moto e suas conseqüências são
importantes, na atividade proposta aos alunos, para fazer a importante
distinção entre caminho percorrido e deslocamento.
Bom, muitas vezes a sala não se interessa tanto por
motocicletas, camelos, desertos, no caso de vocês depararem com tais estudantes
recatados, dignos de um convento de freiras, sugiro problemas mais idílicos e
pacatos como o abaixo...
Chapeuzinho Vermelho e o Lobo Mau.
Não é só o Rubem Alves que conta
estorinha, a gente também pode falar abobrinha.
Conta-se que numa vila francesa à
beira da floresta ('a côté de la forête'), uma jovem moça, por sempre usar um
belo chapéu de tal cor, era chamada de Chapeuzinho Vermelho.
Ela gostava muito da sua
vovozinha, que vivia na floresta. A mamãe de chapeuzinho sempre a avisava para
não visitar sozinha sua vovó:
"
Querida filha, não vá estar acessando sua vovozinha sozinha, a nível de perigo,
sua viagem vai estar sendo um empreendimento arriscado, você vai poder estar
sendo comida por um terrível lobo mau, que tem estado rondando a região "
Chapeuzinho Vermelho estava com
muitas saudades da sua vovó, sua mãe era operadora de tele-marketing e não
tinha tempo de levá-la.
Um dia resolveu ir por sua conta
e risco. Pegou a bússola. Na região da França onde Chapeuzinho morava, as
florestas, ao contrário das nossas, tinham as árvores bem espaçadas.
Chapeuzinho podia andar praticamente em linha reta:
(i) enquanto cantava, andou com
velocidade de 3km/h na direção da casa da vovó, que ficava 10km 30° a leste do
Norte, para quem partira da vila,
(ii) após duas horas de viagem
deparou com o terrível lobo mau, que era mau mesmo... estava na sua frente,
rosnando, uivando, ululando e babando...
(iii) Chapeuzinho mudou seu rumo,
passou a gritar por socorro e correr com velocidade de 12km/h na direção da
casa de um lenhador... o tal lenhador morava na floresta, 8km a noroeste, para
quem partia da vila...
(iv) do ponto em que vira o lobo,
Chapeuzinho caminhou apenas metade da distância até a casa do lenhador, então
tropeçou, caiu no solo, foi alcançada e devorada sem clemência pelo rude 'canis
lupus'.
Vejam
vocês, que bela lição nos traz esta triste estória. Devemos acreditar em
nossas mamães, mesmo que elas sejam operadoras de tele-marketing!
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Independentemente de lições de moral ou outras que
alguém venha tirar desta estória, pergunta-se: qual a distância do ponto em
que se deu o lupino banquete, fim da juventude de Chapeuzinho, até a vila?
Reescrever a resolução abaixo, fazer referência à
figura vect16.gif logo de início, falar sobre média aritmética de vetores!
Empregar a idéia de vetor de posição!
Solução: Consideramos a vila colocada na origem de um
sistema de eixos x, y dados pelas linhas oeste-leste e sul-norte
respectivamente, como no caso do motoqueiro.
Resolveremos o problema com o emprego dos vetores.
Primeiro consideremos o vetor w que dá a
posição do ponto de encontro entre Chapeuzinho e o lobo. Empregamos o
quilômetro como unidade, dado que chapeuzinho caminhou por 2 horas a 3 km/h,
percorreu 6km, o módulo deste vetor é portanto ||w|| = 6. Sua direção,
30° a leste do Norte, é na convenção usual θ = 60°, medidos a partir do eixo x.
Temos:
w = < ||w|| cos60°, ||w||
sen60°> ~ <3.0, 5.2>.
Como Chapeuzinho partiu da origem, (0,0), este
deslocamento a levou ao ponto do nefasto encontro, PE=(3, 5.2).
Consideremos agora o vetor v, de posição da
casa do lenhador, isto é, o vetor que causa o deslocamento que leva a origem
até a tal casa. Tal vetor tem módulo ||v|| = 8. Sua direção, noroeste,
corresponde em nossa convenção, a θ = 135°, contados a partir do eixo x no
sentido anti-horário. Temos:
v = < ||v|| cos135°, ||v||
sen135°> ~ <-5.7, 5.7>.
Este vetor leva a origem (0,0), à casa do lenhador,
CL=(-5.7,5.7).
O vetor que levaria Chapeuzinho do encontro com o
lobo à casa do lenhador seria a diferença vetorial u=v-w,
infelizmente a intervenção do tropeço e a maldade do lobo fizeram que a bela
moça efetuasse apenas metade deste deslocamento, causado pelo vetor (1/2)u=(1/2)(v
-w). Adicionando este vetor ao vetor w, causador do deslocamento
inicial de Chapeuzinho, temos o vetor resultante:
w + (1/2)u = w + (1/2)(v -w) = w +
(1/2)v - (1/2)w = (1/2)(v+w).
Este resultado é uma regra geral, fazendo a média
dos vetores de posição de dois pontos, obtemos o vetor de posição do ponto
médio entre eles. No caso estudado, v é o vetor de posição da casa do
lenhador, w é o vetor da posição do encontro entre Chapeuzinho e o lobo.
A média aritmética destes vetores,
(1/2) (v+w) ~
<-1.3, 5.4>
é o vetor de posição do ponto médio entre o
encontro e a casa do lenhador, que corresponde ao ponto do lupino banquete, que
tem coordenadas PB=(-1.3, 5.4). A distância entre este ponto e a vila é dada
por:
||(1/2)(v+w)|| ~
√((-1.3)2+(5.4)2) ~ 5.6 km.
Um diagrama semelhante ao que fizemos acima mostra
que os vetores de posição de todos os pontos do segmento ligando dois pontos
dados são obtidos por médias ponderadas entre os vetores de posição dos pontos
inicial e final do segmento. A mesma propriedade vale para as coordenadas dos
referidos pontos, visto que o vetor de posição leva a origem ao ponto que tem
como coordenadas as componentes do vetor.
O professor que escolher este problema para uma
atividade em sala, se optar pela teatralização, deve ser cuidadoso na escolha
dos atores que farão o papel da Chapeuzinho e do lobo.
Fonte: http://www.ime.unicamp.br/~marcio/hpteia/vect01/vect09.htm
Postagem dos Alunos: Ana Lucia Lima, Daniela Pacheco da Silva, Dóris Apolonia Russo, Jorge Roberto Santos Miranda, Paulo Fernando Soares e Fernando dos Santos
achei muito interessante o assunto abordado pq quando penso em geometria analítica sempre penso gráficos complicados, fórmulas, em fim a matemática e a física.
ResponderExcluirMas, deparei-me com a história do chapeuzinho vermelho para ilustrar os vetores, é simplesmente sensacional.
Olá Dóris, pois é, como já estamos comentando bastante no blog, conseguir materiais, explicações que ilustre, auxiliem o aluno no entendimento dos coceitos é muito importante, auxilia na aprendizagem e dividir com os colegas esses "achados" também auxilia na formação de vocês. Para indicações de bons materiais podem colocar o link ou indicar sites, porém essa atividade solicitava uma interação de vocês com o tema, dessa forma que apresentaram, apenas a cópia de um site com seu endereço não atingiu o objetivo proposto. Deixo como orientação que tomem mais cuidado com esse tipo de atividade para que não sejam prejudicados nas avaliações. Abraço Taís
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