Xeque-Mate – Estudo da Geometria Analítica utilizando Xadrez

Universidade Federal de Pelotas

Polo: Sapucaia do Sul

               Postagem dos alunos: Luciano B. Coiro, Michele von Hohendorff  e

                                                     Waldir Correia das Neves Junior 

         Contexto histórico da Geometria

         

         No tempo de Euclides, a Geometria limitava-se ao estudo das formas e relações entre os objetos geométricos, como ponto, retas, planos, etc. Esse conhecimento abrangia as medidas de comprimento, área e volume – heranças da matemática dos povos da Antiguidade, como egípcios e babilônicos-, assim como os desenvolvimentos abstratos da geometria de posição, que foram popularizadas pelos matemáticos gregos, em especial os da Escola Pitagórica.

         Essa visão de geometria persistiu por muitos séculos, sendo complementada no século XVI por René Descartes, que criou a Geometria Analítica, cuja função consistia no uso dos poderosos métodos algébricos para a solução dos problemas geométricos, com vantagens evidentes sob o ponto de vista metodológico.

    Conforme Miguel e Miorim, a Geometria pode ser entendida como estudo das propriedades dos objetos e das transformações a que estes são submetidas– desde as transformações mais simples, que alteram a posição de um objeto, por exemplo, às mais complexas, que podem mesmo destruir a sua forma, descaracterizando o objeto.

        

         

         Como trabalhar a Geometria Analítica em sala de aula?

         

        Quando se discute ensinar geometria aos alunos, logo se pensa em utilizar a experiência das medições de determinados planos, visando trabalhar na prática os principais conceitos o ensino da geometria analítica. A utilização de jogos lógicos na matemática para o ensino da geometria também não são novidade.  Ao se discutir o método de ensino da geometria analítica, os softwares são os campeões entre as escolhas entre tantas opções para o estudo de geometria, afinal, a tecnologia possui uma ligação muito forte com estes conceitos, e facilita o processo da aprendizagem dos alunos devido à obtenção dos resultados concretos.

Imagem: Jogo Xadrez Humano

        Discutindo o tema da geometria analítica após a leitura do livro: Discurso sobre o Método (Descartes, René) podemos nos referir a questão da mosca no teto no quarto de Descartes, em que considerando o inseto um ponto e especificando outros dois pontos no teto, a distancia entre eles pode ser encontrada pelo teorema de Pitágoras em que a distância entre os pontos é a raiz da soma dos quadrados das diferenças dessas coordenadas.   

Imagem: Organização das peças para o início do jogo

         Considerando conceitos como vetores, deslocamentos, pontos, planos, retas, trajetórias, relações cartesianas, identidade, reflexão, rotação de ângulos, translação e anti-translação, matrizes, percebemos que são todas abordagens fundamentais, básicas e complexas que podem ser trabalhadas no jogo de Xadrez, portanto, podemos questionar: Se todos esses conceitos estão presentes e fundamentados no Xadrez, por que não utilizarmos este jogo como prática para os estudos da geometria analítica?

Imagem: deslocamento das peças de xadrez

       O xadrez é um jogo matemático, lógico e rico que envolve inúmeros conceitos importantes. Se o compararmos à geometria, temos ainda que em ambos detém métodos de desenvolvimento muito claro, onde no xadrez as peças são movimentadas de forma simples, bem definidas e acabam com isso gerando formações complexas em um plano. 

          Definindo como objetivo para uma peça do jogo, chegar até uma determinada casa, teremos os conceitos estudados na geometria analítica. Se uma peça fica onde estava inicialmente, temos uma identidade, podemos definir uma determinada peça e estabelecer um objetivo para ela, uma determinada trajetória que envolve deslocamento vetorial em um plano, fazendo com que a arrumação das peças presentes no plano se desloque em função desse movimento a obtenham nova formação no jogo. Se considerarmos o movimento em formato de “L” realizado pelo cavalo, temos uma anti-translação.

Imagem: Jogadores posicionando suas "peças"

         Para verificarmos isso, traçarmos esse deslocamento feito pelo cavalo, em forma de vetor em um plano cartesiano. Assim podemos verificar o que esse movimento representa.

         A confecção do tabuleiro do jogo é um momento oportuno para se explorar conceitos geométricos envolvendo também o plano cartesiano, bem como a  confecção das fantasias como chapéus de referência das peças do jogo.

       Todas as peças do jogo traçam retas no plano, isso fica mais evidente para os estudantes se ao invés de usarmos um tabuleiro com peças, os próprios alunos forem as peças do jogo. Assim, terão que eles mesmos executarem os movimentos.

Imagem: alunos explorando a melhor estratégia de jogo

            

              A importância no lúdico em sala de aula

           O processo de aprendizagem escolar vem se modificando com o tempo. Mesmo em um mundo tão evoluído e com crianças e jovens cada vez mais próximos da tecnologia, a aprendizagem não ocorre de forma com que ambos sejam responsáveis por suas ações e construção do próprio conhecimento. Uma vez que a aprendizagem de boa qualidade é direito de toda criança, a mesma ocorre na maioria das vezes de maneira tradicional, onde o professor é quem ensina e a criança é quem aprende, desta forma, cabe ao professor construir estes conhecimentos com os alunos, que pode ocorrer através de jogos e brincadeiras. Segundo Macedo (2005, p.13) “o brincar é fundamental para o nosso desenvolvimento.”

Imagem: Professor Waldir e alunos dos 2ºs e 3ºs anos do Ensino Médio da ETEPortão, analisando o Xadrez Humano onde foram trabalhados os conceitos de Geometria na confecção do tabuleiro nas dimensões proporcionais e na  aplicação matemática do jogo.

Referências Bibliográficas

MIGUEL, Antônio, MIORIM, Maria Ângela. O ensino da Matemática no primeiro grau. 5. ed. São Paulo: Editora, 1991.

LOPES, Sérgio Roberto, VIANA, Ricardo Luiz, LOPES, Shiderlene Vieira de Almeida,  Metodologia do Ensino de Matemática. Curitiba: Ibpex, 2005.

MACEDO, Lino de, PETTY, Ana Lúcia S., PASSOS, Norimar C., Os jogos e o lúdico na aprendizagem escolar. Porto Alegre: Artmed. 2005.

DESCARTES, René, Discurso sobre o Método. Petrópolis: Vozes, 2008.

Ensino Lúdico da Geometria Analítica

Gisele Lima, Katia Pereira, Ilsiara Fonseca, Michele Dalmolin, Thais Silveira

Conforme pesquisa realizada, foi no século XVII que René Descartes, em seu livro La Géometrie, estabeleceu um novo método chamado Geometria com coordenadas ou Geometria Analítica, Onde através deste método Descartes procurou relacionar as figuras geométricas (ponto, reta, circunferência...) com os elementos algébricos (pares ordenados, equações...).

Encontramos uma maneira fácil e divertida de introduzir o assunto Geometria Analítica, no ensino fundamental, ou até mesmo no ensino médio (caso perceba alguma dificuldade dos alunos em identificar pontos no plano cartesiano, por exemplo).

Temos como recurso o jogo: Em busca de Diamantes.

O jogo consiste em uma tabuleiro (imagem 1), dois dados, numerado de 1 à 6 e o outro com letras de A à F, além de fichas para representar os pontos encontrados.

Imagem 1

Reunimos dois alunos em cada tabuleiro, cada jogador na sua vez, lança os dados e marca com uma ficha a posição encontrada, por exemplo: número 1 letra E, deve marcar seu ponto nesta posição. Caso a posição tenha alguma instrução, deve segui-la.

Se ao jogar os dados, sair alguma casa que já esta ocupada, deve-se jogar novamente.

O objetivo geral do jogo é colocar fichas sobre todas as casas onde há diamantes.

Ao final é só contar os diamantes das casas que cada um conseguiu e ver quem obteve a maior quantidade.

Após ter encontrado o ganhador, passamos para a parte teórica do conteúdo, o nosso objetivo específico, a Geometria Analítica.

Devemos dialogar com os alunos, mostrando que o dado numérico refere-se ao Eixo das Ordenadas (eixo y) e o dado das letras refere-se ao Eixo das Abscissas (eixo x).

Após esta compreensão, pedimos para eles fazerem uma nova rodada, utilizando o outro tabuleiro (imagem 2) anotando os pares ordenados e representando-os no mesmo.

Imagem 2

Em seguida entregamos outro tabuleiro (imagem 3) e pedimos para identificarem os pontos representados pelos diamantes. Assim poderemos verificar se existe alguma dúvida ou dificuldade quanto à representação de pontos no plano cartesiano.

Imagem 3

Temos este jogo como grande aliado na introdução à Geometria Analítica, um recurso eficiente e bem aceito pelos alunos.

Referências: TOSSATO, Carla Cristina. Coleção Idéias e Relações, Matemática 2. Ed. Nova Didática, 2001. Páginas: 154 e 155.

Introdução à Geometria Analítica - Software

EIXO GEOMETRIAS: TRATAMENTO ANALÍTICO
ALUNOS: Alex S. L. Viacava, Flávio Barcellos alff. André Ricardo Lessa e Marcos Santos Silva

Embora algumas pessoas tenham resistência às vantagens do uso de computadores como facilitadores de aprendizagem, são inúmeros os estudos nessa área que atestam a sua eficiência para o

desenvolvimento do pensar matemático. Ricardo de Souza Santos, em sua dissertação de mestrado pela

UFRGS, apresenta como pertinente o uso “de recursos como internet e softwares educacionais, pois abrem

um leque de possibilidades didáticas, modificando as relações entre professor e aluno.” (2009, p.2)

A geometria analítica estuda a geometria através das propriedades algébricas, pode-se dizer que é

o estudo de figuras geométricas por meio de equações. A propriedade de permutar entre a geometria e a

álgebra, como cita SANTOS (2009, p.1) é parte integrante dos PCNs. Alguns softwares educacionais apresentam essa propriedade, como o Grafequation, o Sketchup, o Geogebra e o Cabri 3D. Destes, destaco o Geogebra, cujo nome deriva da aglutinação das palavras geometria e álgebra.

O Geogebra é um software gratuito, baseado na plataforma Java e de grande utilidade para o

entendimento da Geometria analítica, pois é de fácil utilização, já que apresenta os comandos em

português. Possui três zonas de trabalho em sua interface, onde se apresenta a zona algébrica, gráfica e de

cálculo (Figura 1). Dessa forma as representações de um objeto estão dinamicamente relacionadas, de forma que alterando a equação a figura se alterará e vice-versa.

Figura 1 – Interface do Geogebra

Fonte: Hohenwarter, 2009 p.6

Acho que a maior vantagem do Geogebra é proporcionar ao aluno a prática dos conceitos teóricos que ele estuda em sala de aula, através de uma representação dinâmica e de rápida construção e alteração. A utilização do Geogebra não substitui a importância de que o aluno saiba construir figuras geométricas e gráficos manualmente, mas é relevante para a otimização do tempo de

alunos e professores.

São inúmeras as possibilidades que o Geogebra apresenta, como a construção de Pontos, Vetores,

Segmentos, Retas, Semirretas, Polígonos, Seções cônicas, Ângulos, Imagens, Funções, Listas e Sequências,

Matrizes, entre outros.

Muitos são os relatos de uso e as sugestões de atividades disponíveis na internet para a utilização do Geogebra, destaco a de Robertoo Ferreira em seu artigo “Ensinando Matemática com o Geogebra”.

Nele são apresentados exemplos de atividades realizadas com alunos, para desenvolver a compreensão

destes sobre a geometria analítica. Na Figura 2, temos uma destas atividades, que consiste na construção de um triângulo escaleno e posterior cálculo de perímetro, área e ângulos.

Figura 2 – Triângulo Escaleno com Geogebra

Fonte: Ferreira, 2010 p. 5

Outro exemplo interessante é o da demonstração do teorema da tangente, apresentado na Figura

3. Destaco ainda a representação gráfica de funções, como temos por exemplo na Figura 4. Atividades que

proponham que os alunos construam a própria aprendizagem tendem a ser mais interessantes e a

despertar a curiosidade e a atenção dos alunos. Para cumprir as tarefas é preciso que o aluno utilize seus

conhecimentos teóricos sobre geometria e álgebra, colocando-os em prática com as construções no

Geogebra.

Figura 3 –Demonstração do Teorema da Tangente com Geogebra

Fonte: Ferreira, 2010 p. 12

Figura 4 –Gráfico da função x² + 4x + 3 com Geogebra

Fonte: Ferreira, 2010 p. 14

Assim, com base no que foi exposto, pode-se afirmar que a informática educacional, se bem utilizada, é um importante recurso de aprendizagem. Claro que o professor precisa ter domínio do software para utilizá-lo e os alunos necessitam de certa familiaridade com o computador, mas de modo geral sua utilização é vantajosa para ambas as partes. Ressaltando que o professor deve saber claramente quais os objetivos que pretende alcançar com o uso da tecnologia e não somente utilizá-la por conveniência. Destaco a utilização do Geogebra como uma possibilidade de reflexão crítica e de construção do conhecimento através da prática.

Referências:

FERREIRA, Roberto Claudino. Ensinando Matemática com o Geogebra. ENCICLOPÉDIA BIOSFERA, Centro Científico Conhecer - Goiânia, vol.6, N.10, 2010. Disponível em www.conhecer.org.br/enciclop/2010b/ensinando.pdf Acessado em 15/10/2013;

HOHENWARTER, Markus. Ajuda Geogebra – manual oficial da versão 3.2. 2009. Disponível em

www.geogebra.org/help/docupt_PT.pdf Acessado em 19/10/2013;

SANTOS, Ricardo de Souza. Tecnologias Digitais no Ensino de Geometria Analítica. X Encontro Gaúcho de Educação Matemática. Junho de 2009, Ijuí – RS.

Introdução à Geometria Analítica

EIXO GEOMETRIAS: TRATAMENTO ANALÍTICO
ALUNOS: Alex S. L. Viacava, Flávio Barcellos alff. André Ricardo Lessa e Marcos Santos Silva

Após assistir a vários vídeos, escolhemos o vídeo abaixo para iniciar os trabalhos.

Faz parte da história de Sapucaia do Sul

Universidade Federal de Pelotas

Polo: Sapucaia do Sul

Postagem dos alunos: Alex S. L. Viacava, Flávio Barcelos Allf, André Ricardo Lessa e Marcos dos Santos Silva

Apresentamos a  Escola Municipal de Ensino Fundamental Alfredo Juliano, situada à rua Waldemar da Rosa, nº. 640, Loteamento Jardim América, Bairro Lomba da Palmeira em Sapucaia do Sul, foi fundada em 1962, funcionando em uma casa neste bairro, tendo como denominação Escola Municipal da Palmeira. Atuando na direção estava a professora Maria Rita Camboim Martins. A escola tinha 51 alunos e 2 professoras.

Foto do arquivo

Em 1967 passou a funcionar no local atual, recebendo o nome de Grupo Escolar Municipal Alfredo Juliano e em 1983 de Escola Municipal de 1º grau incompleto Alfredo Juliano. Em 1995 passou a funcionar de pré-escolar a 8ª série passando a chamar-se Escola Municipal de 1º grau Alfredo Juliano.

Em 2000, devido ao desenvolvimento da comunidade a escola foi ampliada passando a ter 29 salas de aula, laboratório de informática, sala de vídeo, secretaria, sala de professores, biblioteca, refeitório, almoxarifado, quadra de esportes, sala de educação física, sala do projeto construído a leitura e sala do projeto oficina da alegria, sendo esta a estrutura atual.

Hoje, a escola atua com 1730 alunos, 47 professores e 19 funcionários, a cargo da direção o professor Cezar Alves Gaspary, assessorado pela vice-diretora professora Marília Oliveira Hahn, secretárias Daniela Canabarro da Silva, Milene da Silveira Schinoff e Reginaldo Tupinambá C. Madruga e auxiliares de secretaria Maria Dalva da Silva. Na equipe pedagógica atuam as orientadoras pedagógica Silvana Virginia Muller e Zenaide Pires Rezende e orientadoras educacionais Sineide Ramos Mizeviski e Naira Lúcia Costa de Souza.

Muitas mudanças ocorreram desde 1962. Crianças daquela época são pais de nossos alunos de hoje. Duas gerações que participaram ativamente das transformações destes anos de existência e ajudaram a gravar na história de nosso município o nome ALFREDO JULIANO.

Escola ALFREDO JULIANO atualmente.

Viagem no tempo - Uma reflexão sobre educação ontem e hoje.



Universidade Federal de Pelotas

Polo: Sapucaia do Sul

Postagem dos alunos: Luciano B. Coiro, Michele von Hohendorff, Otília Khaty Stiebe, Waldir Correia das Neves Junior e Fernanda Barbosa Henrique

           

            A escola mais antiga, que se têm registros na cidade de São Leopoldo é o Gymnásio Nossa Senhora da Conceição. Foi fundado em 1869 e naquela época havia a separação de gêneros nas escolas, portanto, o Gymnásio atendia somente os meninos, filhos de imigrantes alemães, que fundaram a cidade de São Leopoldo.

          Os professores em sua maioria eram religiosos, já que a escola foi fundada por padres jesuítas.

      
      Fundado em 1869, transformou-se em Seminário em 1913 e a partir de 1942 passou à Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras, hoje UNISINOS (sede antiga).
      Imagem tirada do site: http://www.museuhistoricosl.com.br/mostragalerias.cfm?id=3&pg=1&cd=15#title
       
        Já as menina, eram atendidas em um prédio ao lado, na Escola São José.

                 O Colégio São José foi o primeiro estabelecimento fundado no Brasil pelas Irmãs Franciscanas da Penitência e Caridade Cristã da Terceira Ordem Regular de São  Francisco de Assis. Procedentes da Alemanha chegaram a São Leopoldo no dia 2 de abril de 1872. As Irmãs foram alojadas numa casa com uma porta e duas janelas, com quatro peças em chão batido.

                 No dia 5 de abril, já iniciaram as aulas com as primeiras 23 alunas, numa sala com três velhos bancos. Esta é considerada como a data de fundação do Colégio São José. Em 1884, quando o Colégio já estava localizado ao lado da Igreja Matriz, começou a receber alunas do Rio de Janeiro, São Paulo, Paraná, Santa Catarina, Uruguai e Argentina, de modo que, em poucos anos, a Escola já contava com 137 alunas internas e muitas externas.

                  Durante seus primeiros 50 anos, o Colégio São José funcionou às margens do Rio dos Sinos, ao lado do Ginásio Conceição, dos Padres Jesuítas.

                  No ano de 1923 ocorreu a mudança das margens do Rio dos Sinos para a Colina do Monte Alverne, onde está atualmente. O novo São José, rodeado por muito verde e belas paisagens, surgiu das adaptações feitas no prédio onde funcionava o Sanatório Santa Elisabeth, transferido para o prédio ao lado.

                  Aos poucos, a construção foi sendo ampliada com novos pavilhões para acolher a juventude cada vez mais numerosa.

     Tirado do site: http://www.saojosesl.com.br/submenu_single.php?idSubMenu=28&nmMenu=Institucional

           A escola São José possui um espaço onde expões objetos antigos, relacionados à educação                    
             Imagens do acervo da escola:

         Para enriquecer a pesquisa, o grupo visitou o Museu Visconde de São Leopoldo.

              Lá, encontramos materiais escolares antigos: lousas ao invés de cadernos, sacolas no lugar de mochilas, e também a temida palmatória.

              No museu encontramos também muitos brinquedos, livros infantis escritos  principalmente em alemão  e até um ábaco usado nas aulas de matemática.

         Através desta pesquisa pudemos fazer uma linha do tempo com as informações obtidas do passado e com as informações colhidas através da visita ao prédio da antiga sede da Unisinos.
         A Sede Antiga da Unisinos, localizada no centro de São Leopoldo, teve sua primeira parte construída no ano de 1880 com o auxílio de padres jesuítas. Seu principal objetivo era de estender o ensino já existente no Ginásio Conceição, considerado o primeiro ginásio oficial do Rio Grande do Sul, e transformá-lo na Faculdade de Filosofia e Teologia.
           As primeiras paredes erguidas da construção do prédio da Faculdade contaram com a ajuda de vários padres jesuítas que já lecionavam no local. Estes não eram nem construtores nem arquitetos, mas foram eles que auxiliaram na execução do prédio se baseando no que já conheciam da Europa. O estilo do prédio e suas colunas são típicos do estilo alemão do século XIX. Hoje qualquer um que entra nos prédios da Sede Antiga da Unisinos e que tenha um conhecimento maior dos estilos arquitetônicos europeus logo identifica sua arquitetura.

                   Durante a visita à antiga sede da Unisinos, contamos com o auxílio do Sr. Idnei Zen, Coordenador do Centro de Cidadania, que além de nos mostrar o interior do prédio nos fez uma breve histórico das mudanças ocorridas desde a fundação até os dias de hoje.

                    Hoje, a antiga sede da Unisinos é um prédio histórico tombado pelo patrimônio cultural de São Leopoldo, porém,  já sofreu inúmeras reformas, inclusive estão com um projeto para uma nova construção no prédio, já que, com o tempo, muitas salas já estão condenadas.

                    O prédio em seu interior já foi todo modificado, não ficando nada da época de sua fundação, somente a estrurura externa, que foi construída a partir de 1880. Hoje, internamente, a escola não possui nada que configure uma sala de aula daquele tempo.

                    A antiga faculdade mantém uma série de atividades sociais, mostrando a preocupação da Universidade junto à sociedade. Nessas atividades estão incluídos o Juizado Especial Cível, a Assistência Jurídica Gratuita, o Programa Interdisciplinar de Promoção e Atenção à Saúde (PIPAS), o Serviço Interdisciplinar de Atendimento e Pesquisa em Ensino e Aprendizagem (S.I.A.P.E.A.), o Projeto Sinos Acorda - FASE I, o Projeto Ofi-Sinos, o Serviço Social - Assessoria a Movimento de Mulheres e Organizações Comunitárias, Núcleo Temático da Terceira Idade (NUTTI), o Movimento Viva São Leopoldo, UPAM - União de Proteção ao Ambiente Natural, Associação dos Diabéticos e Familiares do Vale do Rio dos Sinos e Conselho Municipal do Idoso.

                    Como a integração cultural é uma das prioridades da antiga sede, lá está localizado o Movimento Coral Unisinos, a Orquestra Unisinos, a Oficina de Teatro, o Projeto Sinos Acorda, o Festival de Inverno Unisinos e o Museu do Instituto Anchietano de Pesquisa, que é aberto à visitação mediante agendamento. Esses projetos visam integrar a comunidade e entregar a um grande número de pessoas atividades que possam enriquecer a cultura da comunidade da região

                     Desde a criação do Gymnásio Nossa Senhora da Conceição, a educação mudou, a cidade mudou, o mundo mudou. De uma época onde uma única sala de aula era suficiente para caracterizar uma escola, onde haviam escolas separadas para rapazes e moças e alunos de séries diferentes numa mesma sala, cujos professores eram na grande quase que na totalidade padres e freiras, para um mundo moderno, com professores especializados e como formação continuada, tecnologia informatizada, um mundo globalizado, sem diferenciação entre rapazes e moças, onde as escolas seguem normatizações como metros quadrados por alunos salas de aulas, número de banheiros de acordo com a capacidade da escola, mas, acima de tudo, valores muitos diferentes.

                   

                      Ao realizarmos esta pesquisa, fizemos algumas reflexões a respeito do que descobrimos. Encontramos nos dados da época, relações completamente diferentes entre professores e alunos, com regras rígidas e o processo de educação centralizado na figura do professor. Hoje em dia a centralização é na figura do aluno, e as relações pernamanecem difíceis. Se antes era difícil para o aluno manter dialogo aberto com seus professores devido à rigidez, hoje é difícil o professor abrir dialogo com os alunos devido à falta de regras. Pudemos constatar que até mesmo um prédio histórico como o Gymnásio Nossa Senhora da Conceição tombado pelo patrimônio publico, encontra-se pichado em sua área externa, algo impensável pelos alunos da época da antiga escola.

                     Deixamos então uma reflexão para nossos colegas: Imaginando que a relação entre as duas épocas seja um pêndulo, o que falta para estabelecer um equilíbrio entre essas épocas?